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Développement des fonctions de Bases pour splines cubiques non uniformes NUCS

Papiers: http://graphics.cs.cmu.edu/nsp/course/15-464/Fall05/papers/kimKimShin.pdf

http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/bsplbasic.pdf

http://www.maths.lse.ac.uk/Personal/jruf/papers/ruf_bspline.pdf

http://webee.technion.ac.il/Sites/People/YoninaEldar/Download/ME04c.pdf

extrait de https://fr.wikipedia.org/wiki/NURBS?veaction=edit

$\left\{\begin{array}{ll}N_{j}^0(t)= \left\{ \begin{array}{ll} 1 & si\; t_j \leq t < t_{j+1} \\ 0 & sinon \end{array} \right.\\ N_{j}^d(t)= \frac{t-t_j}{t_{j+d}-t_j} N_{j}^{d-1}(t)+\frac{t_{j+d+1}-t}{t_{j+d+1}-t_{j+1}}N_{j+1}^{d-1}(t)\end{array}\right.$

on s'intéresse à $d=3$ :

Développement:

$N_{j}^{d-1}(t)= \frac{t-t_j}{t_{j+{d-1}}-t_j} N_{j}^{{d-1}-1}(t)+\frac{t_{j+{d-1}+1}-t}{t_{j+{d-1}+1}-t_{j+1}}N_{j+1}^{{d-1}-1}(t) \\ = \frac{t-t_j}{t_{j+{d-1}}-t_j} N_{j}^{{d-2}}(t)+\frac{t_{j+{d}}-t}{t_{j+{d}}-t_{j+1}}N_{j+1}^{{d-2}}(t)$

$N_{{j+1}}^{d-1}(t)= \frac{t-t_{j+1}}{t_{{j+1}+{d-1}}-t_{j+1}} N_{{j+1}}^{{d-1}-1}(t)+\frac{t_{{j+1}+{d-1}+1}-t}{t_{{j+1}+{d-1}+1}-t_{{j+1}+1}}N_{{j+1}+1}^{{d-1}-1}(t) \\ = \frac{t-t_{j+1}}{t_{{j}+{d}}-t_{j+1}} N_{{j+1}}^{{d-2}}(t)+\frac{t_{{j}+{d}+1}-t}{t_{{j}+{d}+1}-t_{{j+2}}}N_{{j+2}}^{{d-2}}(t)$

$N_{j}^{d-2}(t)= \frac{t-t_j}{t_{j+{d-2}}-t_j} N_{j}^{{d-2}-1}(t)+\frac{t_{j+{d-2}+1}-t}{t_{j+{d-2}+1}-t_{j+1}}N_{j+1}^{{d-2}-1}(t) \\ = \frac{t-t_j}{t_{j+{d-2}}-t_j} N_{j}^{{d-3}}(t)+\frac{t_{j+{d-1}}-t}{t_{j+{d-1}}-t_{j+1}}N_{j+1}^{{d-3}}(t)$

$N_{{j+1}}^{d-2}(t)= \frac{t-t_{j+1}}{t_{{j+1}+{d-2}}-t_{j+1}} N_{{j+1}}^{{d-2}-1}(t)+\frac{t_{{j+1}+{d-2}+1}-t}{t_{{j+1}+{d-2}+1}-t_{{j+1}+1}}N_{{j+1}+1}^{{d-2}-1}(t) \\ = \frac{t-t_{j+1}}{t_{{j}+{d-1}}-t_{j+1}} N_{{j+1}}^{{d-3}}(t)+\frac{t_{{j}+{d}}-t}{t_{{j}+{d}}-t_{{j+2}}}N_{{j+2}}^{{d-3}}(t)$

$N_{{j+2}}^{d-2}(t)= \frac{t-t_{j+2}}{t_{{j+2}+{d-2}}-t_{j+2}} N_{{j+2}}^{{d-2}-1}(t)+\frac{t_{{j+2}+{d-2}+1}-t}{t_{{j+2}+{d-2}+1}-t_{{j+2}+1}}N_{{j+2}+1}^{{d-2}-1}(t) \\ = \frac{t-t_{j+2}}{t_{{j}+{d}}-t_{j+2}} N_{{j+2}}^{{d-3}}(t)+\frac{t_{{j}+{d}+1}-t}{t_{{j}+{d}+1}-t_{{j+3}}}N_{{j+3}}^{{d-3}}(t)$